《数学之友》2023年第12期解三角形思维转化,平面几何视角直观解题探索一一道解三角形题的探究陈羿男（上海市建平中学，上海，200135）摘要：解三角形作为高考数学试卷中的一类基本知识点与基本考点，常考常新，变化多端.本文结合一道解三角形的模拟问题，或从解三角形思维视角进行合理转化，或从平面向量思维视角进行直观分析，这些都是解决问题的基本技巧方法.从而总结归纳规律，引领并指导数学学习与解题研究.关键词：解三角形；三角函数；平面几何；正弦定理；余弦定理解三角形问题有效串联起初中的平面几何知识与高中的解三角形、平面向量、三角函数等相关知45°识,是历年高考中的一类基本题型与重点知识之一，倍受各方关注.解决此类问题，可以通过解三角形的基本属性,利用正弦定理或余弦定理等相关公式加V245°DC以转化与应用，并综合三角函数的相关知识来分析与求解；也可以通过平面几何的直观属性，回归问题本质，通过数形结合，综合平面几何的基本性质等来直观处理；还可以通过平面向量的转化、平面直角坐标系的坐标运算等思维方法来解决.总而言之，解这类问题时，思维视角众多，技巧方法各样，规律策略多变.1问题呈现【问题】（2023届河南省安阳市高三（上）10月毕业班调研考试数学试卷)在△ABC中,点D在边BC上,若ABC=LCAD=45°,AD=/2,△ACD的1+/2面积为则2BD本题是一道以三角形为平面几何背景，通过给出三角形中的相关边长与角度等数据信息，并结合对应三角形的面积，合理确定对应的三角形形状与大小,进而求解对应线段的比值问题图1在△ACD中,由余弦定理,得DC²=AD²+AC²-2AD·AC·cOsZCAD,解得DC=/3.由正弦定理，得sinZADCsinZCAD'ACsinLCAD_1+/2sinZADC=DC由余弦定理,得cosZADC=1-/2所以sinBAD=sin(ZABC+ZADB)一DCsin(45°+180°-LADC)=sin(LADC-45°)=sinZADC·cos45°-cosLADC·sin45°=所以在△ABD中，根据正弦定理，可得BDAD则有BD=sinZBADsinLABCAC/6AD?+DC2-AC22AD·DC=V63AD·sinZBADsinZABCDC则有一2问题破解2.1思维视角1:解三角形思维方法1：纯解三角形法解析：如图1所示，由SACD=21+/2sinZCAD:,得AC=1+/2.4C22/63所以BD2/61:AC·AD:2DCV33/2，故填答案：443解后反思：根据题设条件中的三角形面积公式以及余弦定理分别确定对应的线段长，并通过正弦2023.12_613/2《数学之友》定理与余弦定理分别确定相关角的正弦值与余弦值,结合三角形的性质以及三角恒等变换公式来求解对应角的三角函数值,再结合正弦定理来确定相关的线段长，...
