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2023
学年
高考
数学
一轮
复习
课时
作业
16
积分
微积分
基本
理理
课时作业16 定积分与微积分基本定理
[基础达标]
一、选择题
1.[2023年·甘肃兰州一中月考] |x|dx等于( )
A.0 B.1
C.2 D.
解析:如图,由定积分的几何意义可知|x|dx表示图中阴影部分的面积,故|x|dx=2××1×1=1.
答案:B
2.[2023年·湖北黄冈调研] cos x++dx=( )
A.8π B.4π
C.2π D.π
解析:cosx+=-sin x.令y=,两边平方,得y2=16-x2(y≥0),则有x2+y2=16(y≥0),所以函数y=在[-4,4]上的图象是圆x2+y2=16的上半部分,所以dx=×π×42=8π.所以cosx++dx= (-sin x)dx=dx-sin xdx=8π+cos x=8π,故选A项.
答案:A
3.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于( )
A.0 B.4
C.8 D.16
解析:原式=f(x)dx+f(x)dx,因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等,
即f(x)dx=2f(x)dx=8×2=16.
答案:D
4.[2023年·四川内江适应性测试]由曲线y=x2+1,直线y=-x+3,x轴正半轴与y轴正半轴围成的图形的面积为( )
A.3 B.
C. D.
解析:由题意可知题中曲线与坐标轴围成的图形如图中阴影部分所示,由解得(舍去)或则A(1,2),结合图形可知,所求的面积为(x2+1)dx+×22=x3+x+2=,选B项.
答案:B
5.[2023年·河南八市重点高中第二次联合测评]已知函数f(x)=则f(x)dx=( )
A. B.
C.7 D.
解析:函数f(x)=
则f(x)dx=-1x|x|dx+dx=0+x=.
故选B项.
答案:B
6.若(x2+mx)dx=0,则实数m的值为( )
A.- B.-
C.-1 D.-2
解析:由题意知(x2+mx)dx==+=0,得m=-.
答案:B
7.[2023年·福州模拟]若f(x)=f(f(1))=1,则a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
解析:因为f(1)=lg1=0,f(0)=3t2dt=t3=a3,所以由f(f(1))=1得a3=1,所以a=1.
答案:A
8.[2023年·郑州模拟]汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是( )
A.5 m B. m
C.6 m D. m
解析:根据题意,汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,汽车在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程s=(3t+2)dt== m,故选D.
答案:D
9.[2023年·湖北孝感模拟]已知dx=,则m的值为( )
A. B.
C.- D.-1
解析:由微积分基本定理得dx=(ln x-mx) =m+1-me,结合题意得m+1-me=,解得m=.故选B.
答案:B
10.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,则m的值为( )
A.2 B.3
C.1 D.8
答案:A
二、填空题
11.[2023年·成都市高三摸底测试] (-2sin x)dx=________.
解析:由定积分的概念及微积分基本定理,得 (-2sin x)dx==-2.
答案:-2
12.[2023年·湖南株洲质检]若x2dx=9,则常数T的值为________.
解析:x2dx=x3=T3=9,所以T=3.
答案:3
13.[2023年·江西八所重点中学联考]若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则-dx=________.
解析:∵f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,∴f(1)=f(-1),ln(e+1)+a=ln+1-a,解得a=-,∴-dx=+2xdx=(ln x+x2) =e2.
答案:e2
14.[2023年·河北衡水中学调研]曲线y=x3-3x和直线y=x所围成的图形的面积是________.
解析:
由得交点的坐标分别为(0,0),(2,2),(-2,-2),作出草图如图,
可知曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积
S===2=2×(8-4)=8.
答案:8
[能力挑战]
15.一物体受到与它运动方向相反的力F(x)=ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于( )
A.+ B.-
C.-+ D.--
解析:由题意知W=-dx
=-=--.
答案:D
16.[2023年·湖南长沙长郡中学第一次适应性考试]已知函数f(x)=则的值为( )
A. B.
C. D.
答案:A
17.[2023年·江西上饶第二次模拟]如图,图形由部分正弦曲线y=sin x与余弦曲线y=cos x及矩形ABCD组成,向矩形ABCD内掷一粒豆子(大小忽略不计),若豆子落在矩形ABCD内的任一位置是等可能的,则豆子落在阴影部分的概率为________.
解析:根据题意,可得阴影部分的面积为 (sin x-cos x)dx+sin xdx=(-cos x-sin x) +(-cos x) =,又矩形ABCD的面积为4π,所以由几何概型的概率计算公式得豆子落在阴影部分的概率是.
答案:
7