1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）2011limtanxxxx→⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠.【答】13【详解1】22300022022011tantanlimlimlimtantansec1lim3tanlim313xxxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→→→−−⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠−===【详解2】22300020011sincossincoslimlimlimtansincoscossinlim3sin1lim33xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→→→−−⎛⎞−==⎜⎟⎝⎠−+===（2）()20sinxdxtdtdx−=∫.【答】2sinx.【详解】()()0220202sinsinsinsinxxxddxtdtxtuududxdxdududxx−−=−==∫∫∫故本题应填2sinx(3)''24xyye−=的通解为.考研数学助手您考研的忠实伴侣【答】22121,4xxyCeCxe−⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠其中12,CC为任意常数.【详解】特征方程为：240,λ−=解得122,2λλ==−故''40yy−=的通解为22112,xxyCeCe−=+由于非齐次项为()2xfxe=，2a=为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为*2,xyAxe=代入原方程可求得14A=，故所求通解为*22211214xxxyyyCeCexe−=+=++故本题应填22121,4xxyCeCxe−⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是.【答】1,0,,0nn−����【详解】因为1111111111111111110000nnEAnnλλλλλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−−==−−−−−−−−=−���������������������故矩阵A的n个特征值是n和0（1n−重）因此本题应填1,0,,0nn−����.（5）设两两相互独立的三事件,AB和C满足条件：()()()1,,2ABCPAPBPCφ===<且()9,16PABC∪∪=则()PA=.【答】14.【详解】根据加法公式有()()()()()()()()PABCPAPBPCPACPABPBCPABC∪∪=++−−−+由题,AB和C两两相互独立，()()()1,,2ABCPAPBPCφ===<因此有()()()()()()2,0,PABPACPBCPAPABCPφ=====从而()()()293316PABCPAPA∪∪=−=解得()()31,44PAPA==又根据题设()1,2PA<故()PA=14二、选择题（1）设()fx是连续函数，()Fx是其原函数，则（A）当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数.（B）当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数.（C）当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数.（D）当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数.【】【答】应选（A）【详解】()fx的原函数()Fx可以表示为()()0,xFxftdtC=+∫于是()()()()00.xxFxftdtCutfuduC−−=+=−−−+∫∫当()fx为奇函数时，()()fufu−=−，从而有()()()()00xxFxfuduCftdtCFx−=+=+=∫∫即()Fx为偶函数.故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：()2fxx=是偶函数，但其原函...
