第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYVol131No11Jan.2001空洞探测的最优解法练祥华,杨胜铭,秦指导老师:数模教研组(南京师范大学,南京210097)编者按:本文是D题中的优秀论文之一.论文的假设合理,使空洞探测问题简化;建立的线性方程组模型正确,有一定的创意;计算结论正确.论文的文风朴实,简洁.摘要:本文论述在探测过程中,对山体、坝体、隧洞等某些内部空洞定位问题.问题简化后,通过对平面进行区域(我们把它叫做像元)划分,对波宽带化后,波经过某空洞像元,此像元必对波在时间上有贡献,因而在每个空气洞像元必减慢一个时间单位数(波通过单位空洞所需时间),进而建立线性方程组模型.从而解决空洞定位问题.1问题的提出(略)2基本假设(1)所有探测均在同一平面上进行,所谓空洞即平面上一个区域(即像元).(2)如果存在一条狭长的空洞,只对一条宽带有贡献,这种情况,我们不予考虑.因为这样的空洞在误差范围内.(3)如果存在某些(个)数据太小(即比弹性波在最短介质线内传播时间还小),无法用数学解释,我们认为是由误差引起的,满足这样的带宽即为介质线.(4)用aijl表示(i,j)像元第L条宽带通过(i,j)的关系,并满足aijl=Sx�S(宽带在像元(i,j)中的面积Sx与像元面积S之比).3名词解释与符号像元:所探测平面划分成(M=N3N)个边长为矩形区域.带宽:假设弹性波以一定的宽度(其值为Σ)向对应的接收器传播,称为波的带宽.介质线:宽带所经过的路线没有任何空洞像元,这样的宽带称为介质线.空洞线:宽带所经过的路线至少有一个空洞像元,这样的宽带称为空洞线.空洞强度Xij:像元在时间上对宽带的贡献量.Xij=0,表示没有空洞;Xij=1,表示有一个空洞.时间单位数:弹性波通过一个像元所需的时间.4模型的建立、分析将待测的区域划分为N3N个像元,用(i,j)表示像元(i,j=1,2,⋯,N),每个像元单位长为Σ,设测量线穿过一个小空洞像元,延长一个时间单位数.Xij表示(i,j)空洞像元变量.设测量线为B1,B2,B3,⋯,BL,由于测量线通过像元的角度不同,长度不一样,即aijl=Sx�S,第l条线通过(i,j)像元;0,第l条线不通过(i,j)像元.设bl为第L条线的测量时间换算后的时间单位数,则应有如下关系式:∑i,jaijl�Xij=bl(l=1,2,⋯,L).5模型求解(1)求解问题我们采用最小二乘法求解该问题:min∑l∑aijlXij-bl2(l=1,2,⋯,L)如果空洞强度Xij接近于零,则表示没有空洞;反之,如果Xij接近于1,则表示有空洞.采用SAS编程,得到如下结果:00000.01410000.878900000.069440.00120.89500.861745000.046750.84470.83...
