考研竞赛凯哥-25届-高数下册核心串讲1为中华之崛起而读书二重积分（理论）一、二重积分的概念（了解即可）设函数在有界闭区域上有界，在上的二重积分定义为其中是将任意分成个小区域后，第个小区域的面积，点为第个小区域上任取一点，为个小区域的“直径”的最大值.二、二重积分的几何意义当时，表示以区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.当有正有负时，表示相应的曲顶柱体体积的“代数和”（面上方的为正，下方为负）.定积分定义很多人都搞不明白，所以如果考到二重积分定义求极限，那多半是考的最普通最容易的情形，即——考虑一个底面为正方形区域，高度为的曲顶柱体.为计算该曲顶柱体的体积，将区域的长和宽都等分为份，那整个底面就等分成了份，每一份的小面积为.若将每个小正方形右上角的顶点对应的函数值作为曲顶柱体近似高度，由二重积分的几何意义，便有，其中为正方形的积分区域.示例1(2010年)求极限考研竞赛凯哥-25届-高数下册核心串讲2为中华之崛起而读书三、二重积分的性质1.线性性质：设，其中为常数.2.积分区域的可加性：若闭区域可以被分割为不重叠的两个区域和（记作），则有.3.，其中表示积分区域的面积.4.保序性：若在区域上有，则.特别地，有.5.二重积分的积分中值定理：设在有界闭区域上连续，为积分区域的面积，则在上至少存在一个点，使得.四、二重积分的对称性（一）奇偶对称性(1)当积分区域关于轴左右对称，且被积函数关于具有奇偶性，则有以下结论：其中，为的右半部分.(2)若积分区域关于轴上下对称，且被积函数关于具有奇偶性，则有以下结论——其中，为的上半部分.考研竞赛凯哥-25届-高数下册核心串讲3为中华之崛起而读书示例2(2012年)设区域由曲线围成，则=()（二）轮换对称性0.结论若区域关于直线对称，则.下面我们从代数角度和几何角度来深入分析轮换对称性.1.代数角度在定积分中，积分值与积分变量用哪个字母无关，即同理，在二重积分里也有相同的结论——将中所有的都换成（包括中的变量），其结果不会有任何变化，如.既然如此，那直接将换成，换成（也就是互换的位置），其结果也不会发生任何变化，即，其中是将中的互换后得到的新积分区域.若本身就关于直线对称（即互换后，不变），则有.2.几何角度(1)轮换对称性是什么？对于一个二元函数，若交换和的位置后，函数表达式不变，即，那么就称关于和具有轮换对称性.考研竞赛凯哥-25届-高数下册核心串讲4为中华之崛起而读书(2)轮换对称性的几何意义1)对于平面上...
