4.3.1.1等比数列的概念与通项公式第四章数列凯里一中尹洪January26,2025（一）创设情境揭示课题【情景一】两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上的记录的数列.23109,9,9,...,9①2310100,100,100,...,100②23105,5,5,...,5③【情景二】《庄子天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是11111,,,...2481632，，④【情景三】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,...⑤【情景四】某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么的利息和本金加在一起算按照复利（复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），他5年内每年末得到的本利和分别是2345(1),(1),(1),(1),(1)ararararar⑥【思考】类比等差数列的研究，如何研究和发现以上数列的取值规律?（二）阅读精要研讨新知【分析】以上数列用{}na表示，则23109,9,9,...,9①2310100,100,100,...,100②23105,5,5,...,5③数列①满足31021299,9,...,9aaaaaa；数列②满足3102129100,100,...,100aaaaaa；数列③满足31021295,5,...,5aaaaaa；数列④满足31212111,,...,,...222nnaaaaaa；数列⑤满足312122,2,...,2,...nnaaaaaa；数列⑥满足3521241,1,...,1aaarrraaa.【等比数列】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometricprogression),这个常数叫做等比数列的公比(commonratio),公比通常用字母q表示（显然0q）.【等比中项】若三个数,,aGb组成等比数列，则G叫做a与b的等比中项(geometricmean).根据等比数列的定义可以知道，2Gab.【思考】你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?【与课本不同的公式的演绎】设一个等比数列{}na的首项是1a，公比是q.则21aqa，32aqa，43aqa，…，12nnaqa，1nnaqa以上各式相乘得，111...nnnaqqqqa个，即11nnaaq所以等比数列的通项公式是11nnaaq.【推广】（1）nmnmaaq（2）nmnmaqa等比数列{}na的通项公式的函数关系11nnaaq变形为1nnaaqq当0q且1q时，函数1()xafxqq，有*(),nafnnN例题研讨学习例题的正规表达学习例题的常规方法...
