学科网（北京）股份有限公司3.5导数与不等式问题一、学习目标：1.利用导数判断与证明函数不等式；2.利用导数处理不等式的恒成立的问题.二、典例分析例1.（1）当，证明：.（2）当时，证明：【答案】作差构造函数，转化为函数最值问题，过程略.变式：1.求证：；2.求证：【答案】作差构造函数，转化为函数最值问题，过程略.例2.设，，证明：【答案】不妨设，令，原不等号等价于.例3．已知函数．证明：当时，．【答案】当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则当01时，g′（x）>0．故g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．变式：学科网（北京）股份有限公司1.已知函数，当m≤2时，证明：f(x)>0.【答案】当m≤2，x(∈－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数在(－2，+∞)上递增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时，f'(x)<0；当时，f'(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．由得，，故．综上，当m≤2时，f(x)>0．例4．设函数，若当时恒成立，求的取值范围．【答案】，由于，故f(′x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f(′x)≥0，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由得，从而当a>时，，故当x(0∈，ln2a)时，f(′x)<0，而f(0)＝0，于是当x(0∈，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，]．变式：1.已知函数，其中a≤0.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)≥0，求a的取值范围.【答案】（1）函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且，①若a＝0，则在(－∞，＋∞)上递增.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.学科网（北京）股份有限公司故f(x)在上递减，在上递增.（2）①当a＝0时，恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值f＝，故当且仅当≥0，即时，f(x)≥0.综上a的取值范围是[，0].2．设，已知函数，若存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】的定义域为，（ⅰ）若，则，故当时，，在递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在递减，在递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（ⅲ）若，则.综上，a的取值范围是.例5.设函数.证明：当时.【答案】由单调性知，在有唯一零点，记为，故在递减，在递增，学科网（北京）股份有限公司所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.【变式】1.设函数，若当时，，求整数的最大值.【答案】隐零点问题...
