用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化【学生版】微专题：空间向量基本定理及其初步应用1、空间向量基本定理（1）定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；特别地，当，，不共面时，可知x＋y＋z＝，时，x＝y＝z＝0；；（2）相关概念①线性组合：表达式x＋y＋z一般称为向量，，的线性组合或线性表达式；②基底：空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；③基向量：基底中，，都称为基向量；④分解式：如果p＝，则称为在基底下的分解式；【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【提示】【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基向量？【提示】2、空间向量的正交分解（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．（2）向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；【典例】题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；【提示】【答案】【解析】【说明】第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化题型2、用空间的基底表示空间向量例2、如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，已知AA′＝，AB＝，AC＝，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底表示向量AM，AN；【变式1】(变条件)若把本例3(2)中的AA′＝改为AC′＝，其他条件不变，则结果又是什么？【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底表示向量MP。题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求：向量所成角的大小；第2页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形...
