南阳市五中要点一复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成__________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记作____________，其中u为中间变量．要点二复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝_______．即y对x的导数是_________________________．x的函数复合函数y＝f(φ(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝af′(ax＋b)．√××√2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是()A．y＝ln(x－2)B．y＝lnx＋x－2C．y＝(x－2)lnxD．y＝ln2x答案：AD解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝lnu和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln2x是由函数y＝lnu和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.答案：B4．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为____________．x＋y－1＝0解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴y′|x＝0＝－1，∴切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.2x－y＝0准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．22(a－1)x－y＋2－a＝0将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．答案：D易错辨析对复合函数求导不完全致错例4函数y＝xe1－2x的导数y′＝____________．(1－2x)e1－2x解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(－2)＝(1－2x)e1－2x.答案：A2．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为()A．2x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0D．ex＋y＋2e－1＝0答案：A解析：∵y＝e2x－4，求导得y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.又当x＝2时，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．所以切线方程为2x－y－3＝0.故选A.答案：BC
