1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题【学习目标】课程标准学科素养1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．3.会用向量法求线线、线面、面面夹角．4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一．空间距离的向量求法分类图示向量求法点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP＝a，AP在直线l上的投影向量为AQ＝(a·u)u，则PQ＝＝.线线距转化为点线距在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP在直线l上的投影向量为AQ，则P点到平面α的距离PQ＝线面距（前提是线面平行）转化为点面距如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．面面距（前提是面面平行）转化为点面距如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．解读：异面直线a，b间的距离求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则⃗AB在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，所以距离为⃗¿AB∙n∨¿¿n∨¿¿¿.二．空间角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝＝直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝＝图（1）直线与平面所成角图（2）平面与平面所成角思考1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？思考2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？【小试牛刀】1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．()（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹...
