1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1.1.2空间向量的数量积运算【学习目标】课程目标学科素养1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算3、数学抽象【自主学习】一．空间向量的夹角1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的，记作．2.a，b为非零向量，＝，a与b的夹角的范围是。当＝0时，a与b；当＝π时，a与b；当＝时，a与b．二．空间向量数量积1.概念：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|．解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。3.性质及应用性质应用若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0用于证明线线垂直a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝，推广：|a±b|=.用于求长度＝用于求异面直线所成角4.运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.()(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.()(3)对于非零向量a，b，与相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【经典例题】题型一数量积的计算点拨：空间向量的数量积运算方法1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4...
