[30680250] 微专题：有关充要条件的证明 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册.docVIP免费

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化微专题：有关充要条件的证明【主题】有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”；【典例】例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；例2、若实数a，b满足，，且，则称a与b互补记，那么“”是“a与b互补”的条件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）例3、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0；【即时练习】1、求证：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．证明方程f(x)＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0．3、探求：关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个大于1的实数根的充要条件。【教师版】微专题：有关充要条件的证明【主题】第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化有关充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”；【典例】例1、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0；【提示】注意认真审题；在本题中“条件”是：xy≥0；“结论”是：|x＋y|＝|x|＋|y|；【证明】①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以，等式成立；当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以，等式成立；当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以，等式成立；总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立；②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以，|xy|＝xy，即xy≥0；综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件；【说明】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题；判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的...