用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化【学生版】微专题：利用空间向量证明平行与垂直对于高考考点：利用空间向量证明平行与垂直关系；关键就是：找准三个不共面的基向量，与适当建立空间直角坐标系，利用向量的知识与运算证明空间的平行与垂直关系；设直线l，m的方向向量分别为＝(a1，b1，c1)，＝(a2，b2，c2)；平面α，β的法向量分别为＝(a3，b3，c3)，＝(a4，b4，c4)；1、线线平行：l∥m⇔∥⇔＝k⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；2、线线垂直：l⊥m⇔⊥⇔·＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；3、线面平行：l∥α⇔⊥⇔·＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0；4、线面垂直：l⊥α⇔∥⇔＝k⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3；5、面面平行：α∥β⇔∥⇔＝k⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4；6、面面垂直：α⊥β⇔⊥⇔·＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0；【注意】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量=λ（λ∈R）即可；若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外；【典例】题型1、求直线的方向向量、平面的法向量例1、（1）已知，，．①写出直线的一个方向向量；②设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式；【提示】【答案】第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化【解析】（2）如图在长方体中，，，，M是的中点，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系；①求平面的法向量；②求平面的法向量．【提示】【答案】【解析】【说明】本题考查了直线的方向向量、平面的法向量的概念与空间向量的坐标表示的交汇；注意：代数计算要规范与准确；题型2、直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示与直接应用例2、根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线，的方向向量分别是，；（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（4）平面，的法向量分别是，；第2页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化题型3、利用空间向量证明平行问题例3、如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC；证明：PQ∥平面BCD.题型4、利用空间向量证明垂直问题例4、如图所示，正三棱柱(底面为正...
