沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习向量专题之研究新数列题型教学目标初步了解研究新数列题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。【解读：研究新数列题型难度很大】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（★★★）已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．例如：数列，，，，…①可看作周期为1的数列；数列，，，，…②可看作周期为2的数列；数列，，，，，，…③可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前项和；（3）在数列③中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，，，，求该数列的一个通项公式．解：（1）或等．（2）当时，；当时，；[来源:Zxxk.Com]当时，（）．（3）由题意，，应有，得，于是，把，，代入上式得由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，，于是，因为，所以，于是可求得．故（）．【评述：此题向函数借鉴，给了一个周期数列，考查学生求通项和求和的能力，涉及到了分类讨论，还有一些三角的知识，难度不大】例2.（★★★★）如果无穷数列满足下列条件：①；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．解：（1）,故数列单调递减；当时,，即，则数列中的最大项是，所以，（2）是各项正数的等比数列，是其前项和，,，设其公比为，，整理得，解得或（舍）对任意的，有，且，故是数列。（3）假设存在正整数使得成立，有数列的各项均为正整数，可得，即。因为，所以，由及，得，故因为，所以由此类推，可得,又存在,使，总有，故有，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意，都有成立【评述：此题把满足一定条件的数列作为一类，特别是后一个条件涉及到了数列的单调性。此类题考得很频繁，要学生搞懂接替一般思路和步骤】例3.（★★★★★）对于项数为的有穷数列，记（），即为中最大值，称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5控制数列是1，3，3，5，5（1...
