1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司专题42阿波罗尼斯圆【方法点拨】一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“啊波罗尼斯圆”（又称之为圆的第二定义）.说明：（1）不妨设，，，再设，则有√(x+a)2+y2=λ√(x−a)2+y2，化简得：(x−λ2+1λ2−1a)2+y2=(2λλ2−1a)2，轨迹为圆心(λ2+1λ2−1a，0)，半径为|2λλ2−1a|的圆.（2）满足上面条件的啊波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点（如图，有）.（3）设是圆上的一点（不与重合），则是三角形的内、外角平分线，．（4）逆向运用：给定圆和定点（不在圆上且不与重合），则一定存在唯一一个定值和一个定点，使得对于圆上的任意一点都有．2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司【典型题示例】例1满足条件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面积的最大值为.【答案】2【分析】已知三角形的一边长及另两边的关系欲求面积的最大值，一种思路是利用面积公式、余弦定理建立关于某一边的目标函数，最后利用基本不等式求解；二是紧紧抓住条件“AC＝BC”，符合“啊园”，建系求出第三个顶点C的轨迹，挖出“隐圆”，当点C到直线AB距离最大，即为半径时，△ABC的面积最大为2.【解析一】设BC＝，则AC＝，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取最大值【解析二】以AB所在的直线为x轴，它的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（－1,0），B（1,0），设C（x,y）由AC＝BC，即AC2＝2BC2所以（x＋1）2＋y2＝2[（x－1）2＋y2]，化简得(x－3)2＋y2＝8故点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，当点C到直线AB距离最大，即为半径时，△ABC的面积最大为2.例2已知等腰三角形腰上的中线为，则该三角形面积的最大值为________.3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司【答案】2【分析】本题解法较多，但各种解法中，以利用“啊圆”为最简，注意到中线上三角形两边之比为2∶1，符合啊波罗尼斯圆定理，挖出“隐圆”，易求得最大值为2.【解析一】如图1，中，，，．设，则，在中，，在中，，由可得，，所以，则，故，易知当时，面积的最大值是2．点评：避免求边，优化此解法，考虑中，有，而，同样可解．【解析二】以中点为原点，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北...
