1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司专题35基于切线的恒成立问题【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.解决零点问题的最常见思路是转化为两函数图象交点问题，而求解图象交点个数常常利用相切作为“临界状态”.【典型题示例】例1（2022·江苏南京市教研室考前指导·21改编）已知函数，若恒成立，则实数的值为．【答案】【分析】易发现函数、均恒过点，故当且仅当点为函数的切点时，恒成立，所以.对于“切点型零点”问题往往通过先猜后证的方式简化思维量、运算量．构造，；则，时，在上为单调增函数，分别讨论，，即可.43212fx()=ex2∙lnx+1()2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司【解析】令，则，；则，时，在上为单调增函数①当时，，且，所以函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，即，符合题意．②当时，，所以，当时，，所以，且，所以存在唯一的，使得，且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，所以当时，，即不恒成立，不合题意．③当时，，所以，当时，，所以，3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司所以存在唯一的，使得，且在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，所以当时，，即不恒成立，不合题意．综上，．例2已知，若不等式恒成立，则的最小值是．【答案】【分析】问题转化为，设、，则两函数左右两侧的凸凹性相反，从形上看，若（）固定不变，当变大时，抛物线的开口程度越大，此时越小，欲求使恒成立时的最小值，则两函数图象相切即为“临界状态”；另一方面，，函数的零点为、，故的几何意义是函数的一个零点，零点的最大值即的图象与轴交点运动到最优时，从形上看不能知道，零点即“公切点”时满足题意.【解析】设、则函数的零点即为两函数的“公切点”时满足题意4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司令得，，所以，即，此即为所求的最小值．【点评】1.本题解法的实质是，构造的两函数的零点相同.2.本题也可转化为再利用“形”来求解.例3已知函数，若对于任意实数，恒有，则的最大值是（）．A.；B.；C.；D..【答案】C.【分析】由得，，即对任意xR，恒成立，设、，从“形”上考察，若（）固定不变（即直线的截距），当变大（即直线的斜率）时，增大，当与相切时，可使最大.y=(a+1)x+by=exyxO5原创...
