1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破09一类与斜率和、差、商、积问题的探究目录1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．题型一：斜率和问题例1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，即，又直线，的斜率存在，所以点的轨迹方程为（2）若存在这样的定点，不妨设为，令，，，直线的方程为，，由韦达定理得：，，，，，3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司对任意成立，所以由得，所以，对任意成立，，经检验，符合题意，所以，存在满足题意.例2．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.【解析】（1）由得，设，因为的中点坐标为，所以，解得.（2）4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司联立，解得或，所以，所以直线的斜率.设直线的方程为.联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，若，则，不符合题意，所以，即，①联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，②由①②可得，所以...
