1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．技巧三．三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】A3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.故选：A.例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设， ，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，∴．比值为．故选：C．4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是所在平面内一点，连接，，延长至使， ，∴，连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四边形中，，则与的面积比为，故选：C.变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内...
