临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练数列07（与数列有关的不等式证明①）1．已知数列满足，．（1）证明数列为等差数列；（2）设，证明：．2．已知数列中，，且，，成等差数列，数列是公比大于1的等比数列．（1）求数列的通项公式及其前项和．（2）设，求证：．3．设正项数列前项和为，满足，等比数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）设前项和为，记，证明：．4．已知数列前项和为，，，数列是等差数列，，．（1）求数列，的通项公式：（2）设求证：．5．已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围．（2）证明：，．6．已知函数．（1）若2()1fxx„恒成立，求a的值；（2）求证：对任意正整数(2)nn…，都有22221111(1)(1)(1)(1)234en．参考答案1．（1）根据题意，，，在等式左右两边同时除以得，，由此可得，数列是首项为，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，．，．从而得证．2．（1）设数列是公比大于1的等比数列，则，，所以，，由，，成等差数列，可得，即，即，解得舍去），所以，即，，，两式相减可得，所以；（2）证明：，，则．3．（1），当时，，解得．当时，，①，②①②得：，整理得：．，，即数列是首项为2，公差为2的等差数列．；，，则等比数列的公比，则；（2）证明：由（1）得，，则，．令，则，两式作差可得：．．．4．（1）根据题意，，，当时，，，得，，，所以是以3为首项、3为公比的等比数列，；在等差数列中，，，所以，（2）证明：当时，由得，，所以，当时，，又当时，，当时，，所以对于任意的，．5．（1），等价于，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故实数的取值范围是，．（2）证明：由（1）可知在上恒成立，则，即，当且仅当时“”成立，取，2，3，，则，，，，，将上述不等式相乘可得，即，故．6．（1）由2()1fxx„，得10alnxx„对(0,)x恒成立．记()1(0)hxalnxxx其中h（1）0，()1aaxhxxx，当0a„时，()0hx恒成立，()hx在(0,)上单调递减，(0,1)x时，()hxh（1）0，不符合题意；当0a时，令()0hx，得xa，(0,)xa时，()0hx，(,)xa时，()0hx，所以()hx在(0,)a上单调递增，在(,)a上单调递减，()maxhxh（a）10alnaa„记（a）1(0)alnaaa，（a）lna．令（a）0得1a，(0,1)a时（a）0；(1,)a时，（a）0，（a）在(0,1)上...
