试卷第1页，共3页学科网（北京）股份有限公司第17题数列不等式变化多端，求和灵活证明方法多（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．试卷第2页，共3页（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）按“差比法”确定不等式两边之差，利用错位相减法求“新数列”的和..（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，⑧试卷第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司则．⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．（2024·广东佛山·二模）1．已知数列满足，，且．(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）先利试卷第4页，共3页用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）【最优解】证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）试卷第5页，共3页学科网（北京）股份有限公司2．已知等比数列的首项为，公比为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）由（Ⅰ）知，令，且，求得.而，作差证明即可.（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（Ⅰ）知，令，且，即试卷第6页，共3页，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，由（1）可得，所以，所以.（2024·山西·模拟预测）3．已知数列的前项和为，且．(1)探究数列的单调性；(2)证明：．（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用试卷第7页，共3页学科网（北京）股份有限公司导数方法求和，代替错位相减求和．设，可得．结合，，再求Sn作差证明即可.（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）设，试卷第8页，共3页由于，则．又，所以，由（1）可得，所以，所以.（2017年高考数学浙江卷第22题）4．已知数列满足：，试卷第9页，共3页学科网（北京）股份有限公司证明：当时，（I）；（II）；（III）.【点评】1.数列与不等式知识的交汇，是高考命题的一个热点，且涉及数列不...
