临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练数列07（与数列有关的不等式证明②）1．已知数列的前项和为，若．（1）求通项公式；（2）若，为数列的前项和，求证：．2．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：当时，．3．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．4．已知数列的前项之积为，即，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）设的前项和为，，求证：对一切，均有．5．已知函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）求证：．6．已知函数．（1）若，，证明：在区间内存在唯一零点；（2）若，，（ⅰ）证明：时，；（ⅱ）证明：（其中，且．参考答案1．（1）由，得，则，当时，，两式作差可得：，即，则，数列是首项为，公比为的等比数列，则；（2），，，又，，则，则．2．（1）由得，则，化简得，又，故．当时，解得，因此数列的通项公式为．（2）由题意，．由于，且，所以，化简得．3．（1）数列满足①，当时，②，①②，得，化简，得（常数），又当时，解得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．（2）由（1）得，所以．4．（1），时，，又时，，符合上式，，；（2），，，，得证．5．（1）函数，（1），，（1），曲线在处的切线方程为：，；（2）令，，则，，函数在单调递增，（1），函数在单调递增，（1）．当时：，令，则化为：，，，，，，，，，．6．（1）若，，则，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又，在区间内存在唯一零点；（2）若，，则，（ⅰ），令，易知在上单调递增，，即，在上单调递减，，即得证；（ⅱ）当，时，，又，故，则，由（ⅰ）知，时，，令，，，，以上各式相加得，，即，即，即得证．
