学科网（北京）股份有限公司第19讲椭圆的离心率问题一、问题综述离心率问题是高考的重点难点，主要以选填题为主，难度一般为中等偏上，主要以求离心率的值和取值范围为主.椭圆的离心率，范围.所以要求椭圆的离心率关键是找到椭圆中的参数的关系式，只要一个就可以，因为有一个隐含的关系，而这种关系通常是通过过构造,,的齐次式来得到.二、典例分析类型1：直接建立的关系【例1】设椭圆的两个焦点分别为,,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.解析：如图，由得则，两边同除得，，，【方法小结】这里是椭圆的半通径长，椭圆中通经长为，本题通过等腰三角形腰长相等得到的关系式，进而求得离心率.【例2】设F是椭圆的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是（）..解析：易知的方程为，即则圆心到直线的距离所以，即，所以，，所以离心率，所以选.【方法小结】本题通过直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径得到的等量关系求得离心率.学科网（北京）股份有限公司类型2：由点的坐标建立的关系【例3】已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为．解析：由得，代入椭圆方程得，，所以,故离心率.【方法小结】本题通过线段比例得到点坐标，代入椭圆方程得到的关系.【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：联立与椭圆方程得，，所以，因为，所以，即化简得，故离心率.【方法小结】本题通过联立方程求得,两点坐标，再利用得到,,的关系，从而求得离心率.类型3：由几何关系建立的关系【例5】设是椭圆E:的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为().xyOFBDxyOF2F1P学科网（北京）股份有限公司解析：设直线与轴交于点，易知，所以，在直角三角形中有，而，所以有，化简得，即离心率，故选.【方法小结】本题通过几何关系找到线段之间的比例关系，从而确定的关系，求得离心率.【例6】已知、分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为()解析：连结，是圆的直径，，即，又是等边三角形，，，因此，在中，，，。根据椭圆的定义可得：，解得故椭圆的离心率。故选D类型4：离心率的取值范围注：离心率的取值范围主要是根据上诉三种方法建立的不等关系，从而...
