学科网（北京）股份有限公司例谈圆锥曲线中的同构思想圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手.一．双切线同构.显然，从已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，记切点为，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程：第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决.例1．如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求的最小值.学科网（北京）股份有限公司解析：（1）所以直线AB过定点.（2）设切线方程为，即，故到直线的距离，即（*），设PA，PB的斜率分别为，，则它们为（*）式的解，即，，把代入，得，，当时，取得最小值.例2．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．注：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：．解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点的坐标是，或满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点的坐标为（，且），因此设过点的切线方程为（学科网（北京）股份有限公司），由得．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得．因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，因此．进而可得．二．割线同构比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.例3.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．设AB中点M，证明：PM垂直于y轴.解析：显然，均是等价的，那么它们的中...
