临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练解析几何07（与切线有关的问题）1．设椭圆上的任意一点动点，上顶点为．（1）当上顶点坐标为，离心率时，求的最大值；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，求面积的最小值．2．在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）写出过双曲线的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设是的左焦点，是右支上一点．若，求过点的坐标；（3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：．3．过点的任一直线与抛物线交于两点，，且．（1）求的值；（2）已知，为抛物线上的两点，分别过，作抛物线的切线和，且，求证：直线过定点．4．已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，且的中点的纵坐标为2．（1）求的方程；（2）已知，，若在线段上，，是抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最大值．5．如图，已知抛物线，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点，，过，分别作抛物线的切线，交于点．（1）求点的横坐标；（2）已知为抛物线的焦点，连接，，，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值．6．已知为曲线上一动点，，且的中点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若、是轨迹上的两不同动点，且，分别以、为切点作轨迹的切线，设其交点为．①证明：为定值；②求的面积的最小值．参考答案1．（1）因为上顶点坐标为，离心率，则，解得，所以椭圆的方程为，设，则，故当时，的最大值为；（2）设，，，，，，由题意可知斜率存在，且不为0，所以，则直线和的方程分别为，，因为点在和上，所以有，，则，两点的坐标满足方程，所以直线的方程为，可得和，所以，因为，，所以，故，当且仅当时取“”，故面积的最小值为．2．（1）双曲线，所以，双曲线的左顶点，渐近线方程为，渐近线的斜率为，所以过双曲线的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程，即或；（2）双曲线左焦点，设，则，由点是右支上的一点，可知，所以，得，所以，；（3）证明：设直线的方程为，因直线与已知圆相切，故，即①，由，得，设，，，，则，，又．所以．由①式可知，所以，．3．（1）依题意可设直线的方程为：，设，，，，由得，可得，，因为．即有，，则，（2）证明：设，，，，由（1）可知，，则在，处的切线的斜率分别为，，，，即，设直线的方程为，联立，，，，，直线过定点．4．（1）设点，，，，则，．直线的斜率为1，，把、的坐标代入抛物线方程，可得，两式作差得，，即，...
