第八章立体几何专题训练（十）—证明平行、垂直（1）1．如图．在直四棱柱中，E，F分别AB，BC的中点，11AC与11BD交于点O．（1）求证：1A，1C，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且1ODAE，求证：OD平面11ACFE．解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是ABC的中位线，所以//EFAC，由直棱柱知：//11AACC，所以四边形11AACC为平行四边形，所以11//ACAC，5分所以11//EFAC，故1A，1C，F，E四点共面；7分，（2）连接BD，因为直棱柱中1DD平面1111ABCD，11AC平面1111ABCD，所以111DDAC，因为底面1111ABCD是菱形，所以1111ACBD，又1111DDBDD，所以11AC平面11BBDD，11分因为OD平面11BBDD，所以11ODAC，又1ODAE，1111ACAEA，11AC平面11ACFE，1AE平面11ACFE，所以OD平面1114ACFE分2．如图，在四棱锥PABCD中，223ABCD，2PD，7PC，//CDAB，PDBC，E，F分别为棱AB，PB的中点．（1）证明：PD平面ABCD．（2）证明：平面//PAD平面CEF．证明：（1）因为3CD，2PD，7PC，所以222CDPDPC，所以PDDC．因为PDBC，DCBCC，所以PD平面ABCD．（2）因为E为棱AB的中点，所以12AEAB．因为2ABCD，所以AECD，因为//CDAB，所以//AECD，所以四边形AECD为平行四边形，所以//CEAD，所以//CE平面PAD．因为E，F分别为棱AB，PB的中点，所以//EFPA，所以//EF平面PAD．因为CEEFE，CE平面CEF，EF平面CEF，所以平面//PAD平面CEF．3．如图，在三棱柱111ABCABC中，D为棱BC的中点，ABBC，1BCBB，11ABAB，12BB．（1）证明：1//AB平面1ACD；（2）证明：1AB平面ABC．证明：（1）连接1AC交1AC，与点E，连接DE，在△1ABC中，D、E分别为BC、1AC的中点，所以1//DEAB，又1AB平面1ACD．DE平面1ACD．所以1//AB平面1ACD．（2）因为ABBC，1BCBB，1ABBBB，AB、1BB平面1ABB．所以BC平面1ABB，又1AB平面1ABB．所以1ABBC；又因为1111,2ABABBBAA，得22211AAABAB，所以1ABAB．又AB，BC平面ABCABBCB，所以1AB平面ABC．4．如图，四面体ABCD中，BCCD，90BCD，AD平面BCD．M为AD中点，P为BM中点，点Q在线段AC上，且3AQQC．（1）求证：//PQ平面BCD；（2）若ADDC，N是CD的中点，求证：NQ平面ABC．证明：（1）如图，取BD的中点为E，在CD上取一点F，使得3DFFC，连结EP，FQ，EF，则由P，E分别为BM，DB的中点，可得//PEDM，且12PED...
