学科网（北京）股份有限公司第24讲蒙日圆及其证明和应用高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．答案：(1)；(2)．这道高考题的背景就是蒙日圆．普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G．Monge，1745-1818)作了介绍．以上高考题第(2)问的一般情形是定理1曲线Γ:x2a2+y2b2=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2．定理1的结论中的圆就是蒙日圆．先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(±a,b)，或(±a,−b)．当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x0,y0)(x0≠±a,且y0≠±b)，所以可设曲线Γ的过点P的切线方程是y−y0=k(x−x0)(k≠0)．由{x2a2+y2b2=1¿¿¿¿，得(a2k2+b2)x2−2ka2(kx0−y0)x+a2(kx0−y0)2−a2b2=0由其判别式的值为0，得(x02−a2)k2−2x0y0k+y02+b2=0(x02−a2≠0)因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以2222:1(0)xyCabab(5,0)5300(,)Pxy22194xy2213xy学科网（北京）股份有限公司kPA⋅kPB=y02+b2x02−a2由此，得kPA⋅kPB=−1⇔x02+y02=a2+b2进而可得欲证成立．定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(±a,b)，或(±a,−b)．当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x0,y0)(x0≠±a,且y0≠±b)，所以可设两个切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2y1y2≠0)．得直线AB:x0xa2+y0yb2=1，切线PA:x1xa2+y1yb2=1,PB:x2xa2+y2yb2=1．所以：kPAkPB=(−b2x1a2y1)(−b2x2a2y2)=b4x1x2a4y1y2,kOAkOB=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2kOAkOB=b4a4kPAkPB因为点(xi,yi)(i=1,2)既在曲线Γ:x2a2+y2b2=1上又在直线AB:x0xa2+y0yb2=1上，所以xi2a2+yi2b2=(x0xa2+y0yb2)2a4(y02−b2)(yixi)2+2a2b2x0y0(yixi)+b4(x02−a2)=0所以kOAkOB=y1y2x1x2=b4(x02−a2)a4(y02−b2)=b4a4kPAkPBkPAkPB=y02−b2x02−a2由此，可得学科网（北京）股份有限公司PA⊥PB⇔x02+y02=a2+b2进而可得欲证成立．再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理．引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·...
