学科网（北京）股份有限公司第20讲圆锥曲线的综合问题一、学习目标：1.掌握设点与设线技巧；2.会用平面几何知识来简化问题；3.会用函数思想来处理圆锥曲线中的最值问题.二、典例分析例1．如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为.所以消去，整理得：.因为直线与抛物线相切，所以，解得，，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.（2）由（1）知，，直线的方程为，学科网（北京）股份有限公司所以点到直线的距离为.所以的面积为.11．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.①证明：；②记△MAB,M△DE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．【答案】（1）（2）①关键证明；②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.学科网（北京）股份有限公司例2．已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）设，联立得，，，.直线，令得，即，同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.变式：1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）椭圆方程为：；（2）直线恒过点．学科网（北京）股份有限公司2．已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.(1)求的值；(2)如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标.【答案】(1)；(2)存在，其坐标为或.例3．已知的三个顶点在抛物线:上,抛物线的焦点,点为的中点,.（1）若,求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或,学科网（北京）股份有限公司,,，解得或,（2）设直线的方程为,,由消掉得，,根据韦达定理了可得:,,的中点的坐标,,，,,,可得解得；由,可得，,又,点到直线的距离为,,记令解得在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,学科网（北京）股份有限公司又，当时,...
