学科网（北京）股份有限公司第25讲调和点列—极点极线一、问题综述（一）概念明晰（系列概念）：1.调和点列：如图，在直线上有两基点，则在上存在两点到两点的距离比值为定值，即，则称顺序点列四点构成调和点列（易得调和关系）。同理，也可以为基点，则顺序点列四点仍构成调和点列。所以称和称为调和共轭。2.调和线束：如图，若构成调和点列，为直线外任意一点，则直线称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点仍构成调和点列。3.阿波罗尼斯圆：如图，为平面中两定点，则满足的点的轨迹为圆，互为反演点。由调和点列定义可知，圆与直线交点满足四点构成调和点列。5.极点极线：如图，互为阿圆反演点，则过作直线垂直，则称为的极点，为的极线.学科网（北京）股份有限公司6.极点极线推广（二次曲线的极点极线）：（1）.二次曲线极点对应的极线为（半代半不代）（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为则极线为切点弦；②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线；③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.（二）重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若四点构成调和点列，则有性质2：调和点列与极点极线如图，过极点作任意直线，与椭圆及极线交点则点成调和点列（可由阿圆推广）学科网（北京）股份有限公司性质3：极点极线配极原则若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．推广：如图，过极点作两条任意直线，与椭圆分别交于点，则的交点必在极线上，反之也成立。二、典例分析类型1：客观题中结论的直接运用例1（2013•山东）过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（）A．B．C．D．解析：直线是点对应的极线，则方程为，即．故选A．例2（2010•湖北）已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为，直线与椭圆的公共点个数是．解析：由题知，点在椭圆内部且与原点不重合．则当点在线段上除原点时，，当在椭圆上时，，则的取值范围为．点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为0．点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到了高考选拔人才的功...
