试卷第1页，共3页学科网（北京）股份有限公司第20题平面向量最值范围，解法灵活数形为本已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函试卷第2页，共3页数，如何引进变量就显得非常重要．思路一是以切线长为变量x，将可表示为x的函数，再转化为方程用判别式法求解，如图20-1所示，设（），，则．，，令，则．即， 是实数，∴，即，解得或故，此时，故选D．试卷第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司1．设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，则的最大值等于．本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路二是以OP长为变量r，将表示为关于的函数，借助基本不等式求解.如图20-2所示，设，，则，．∴有，当且仅试卷第4页，共3页当时等号成立．∴，故选D．（2023·天津·统考高考真题）2．在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路三是以O到AB中点M的距离为变量，将表示为关于的函数（利用向量运算三角形法则和直角三角形射影定理求得），借助基本不等式求解.如图20-3所示，设AB的中点为M且，在中，由直角三角形射影定理有，．∴，．试卷第5页，共3页学科网（北京）股份有限公司∴．当且仅当时等号成立，∴，故选D．（2024·全国·模拟预测）3．已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦值的最小值为．本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路四是引进为变量，将表示为三角函数，原问题进入了三角函数这一知识板块，应用三角恒等变换、三角函数的性质以及换元法求解.试卷第6页，共3页设，．则令，，，故选D．4．如图，已知等腰直角三角形中，，，两顶点分别在正半轴（含原点）上运动，分别是的中点，则的取值范围是．本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路五是建立适当地平面直角坐标系，利用向量数量试卷第7页，共3页学科网（北京）股份有限公司积的坐标运算，建立关于坐标的函数式，再求最小...
