1学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第14讲圆锥曲线垂径定理一．问题综述1．圆中的垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（在这里我仅研究垂直平分弦）如图0-1，在圆中，已知点是弦的中点，则．2．椭圆与圆的联系xy图0-1MOBAxy图0-2MDOPxy图0-3MDOP（教材《选修2-1》第41页例2）如图0-2，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（所求得的轨迹方程是．）（教材《选修2-1》第50页B组第1题）如图0-3，轴，点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明它时什么曲线．（所求得的轨迹方程是．）由上述两道习题推广到一般情形：在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，点在上，若，且，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程是．（，且．当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆．）特别地，当时，椭圆即为圆．由此，我们可以将椭圆看成是由圆升缩而成的，圆中某些性质也可以类比拓展到椭圆，本专题就圆的垂径定理在椭圆．双曲线中的拓展．应用加以总结．二．典例分析2学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司类型1：椭圆中的垂径定理【例1-1】已知椭圆，不垂直坐标轴直线交椭圆于，两点，为线段的中点，直线和的斜率分别为，，求证：．xy图1-1MOAB证法1：如图1-1，设，，．则，．因为，两式作差得，即，于是．所以．证法2：设直线的方程为，设，，．由，消得，所以，于是．所以，于是．因此．证法3：令，则．原题设中的点，，分别对应单位圆中的点，，且是线段的中点．由圆的垂径定理由．又因为，，3学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以．【方法小结】三种解法分别从三个不同角度给出解析，解法2是解决直线与椭圆问题的通法，解法3利用的是仿射变换转化为直线与圆的问题求解.该问题是与弦中点有关的问题，故解法1利用点差法大大简化了运算．★椭圆中垂径定理的拓展拓展一：割线转切线【例1-2】已知椭圆，设直线与椭圆相切于点，求证：．证明：如图1-2，设，则切线的方程为，所以切线的斜率为，于是．【方法小结】该问题也可以看成是例1-1中割线的极限位置为切线．拓展二：平移中线（中线转变中位线）【例1-3】已知椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上异于的任意一点，求证：．证法1：设点，则，又，两式作差，得，于是．证法2：如图1-3，取的中点，连接，则．所以．【...
