第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值x0≠0,k=−y0x01.基本结论：设P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的定点，AB是椭圆上一条动弦，直线AB,PA,PB的斜率分别为k,k1,k2；（1）若k1k2=b2a2，则有，x0≠0,k=−y0x0（2）若k1k2≠b2a2，则直线AB过定点，（3）若k1+k2=0，则有y0≠0,k=−b2x0a2y0，（4）若k1+k2≠0，则直线AB过定点.2.典例1.（2020新高考卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.典例2.（2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解析：（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.典例3.（2017一卷）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3(−1,√32),P4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点，若直线P2A,P2B的斜率之和为−1，证明：直线l过定点.解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得，由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，）
