11学科网初高衔接第3讲韦达定理精讲篇（11页）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第3讲根与系数的关系根与系数的关系即实系数一元二次方程两根与其系数之间的关系。一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，。定理：如果一元二次方程的两个根为，那么。说明1一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”根与系数的关系”．根与系数的关系还有另外证明方法：如果一元二次方程的两个根分别为，则ax2+bx+c=a(x−x1\)\(x−x2\)=ax2−a(x1+x2\)x+ax1∙x2,比较等式两边对应项的系数可得b=−a(x1+x2\)，c=ax1∙x2，由此即得x1＋x2＝，x1·x2＝。这种方法称为待定系数法，是高中数学中一种常用方法。同学们还可以用这种方法推出一元三次方程甚至一元n次方程的根与系数的关系。说明2特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．22学科网初高衔接第3讲韦达定理精讲篇（11页）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！这会给某些运算带来方便。本讲知识结构框图：一、根与系数的关系的简单应用例1若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；（5）x13＋x23。分析本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，计算量将很大．如果用x1+x2，x1x2表示要求的代数式，就可以利用根与系数的关系直接求值．这里用x1+x2，x1x2表示要求的式子就是数学中的整体思想。学习数学不仅是学会解题，更重要的是掌握数学思想以及在数学思想指导下获得解数学题方法。解由题意，根据根与系数的关系得：。(1)用x1+x2，x1x2表示，就要对配方：。(2)用x1+x2，x1x2表示，只要对通分：。对涉及两根的各种关系x1，x2，通过配方、通分、平方再开方等各种运算凑成用（x1+x2）和x1x2表示，不解方程，直接求出答案，突出整体思想在高中解析几何中，直线与二次曲线（圆锥曲线）相交时，求相交弦长以及弦中点坐标等问题有重要应用，是解答此类问题“三部曲”中重要一步实系数一元二次方程根与系数之间关系（韦达定理）：实系数一元二次方...
