第2讲：抛物线阿基米德三角形1.知识要点：如图，假设抛物线方程为x2=2py(p>0)，过抛物线准线y=−p2上一点P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2).则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.证明：参见下面的例1.结论2.直线AB的方程为x0x=2py0+y2=p(y0+y).证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.进一步，设A,B：(x1,x122p),(x2,x222p)，则kAB=x122p−x222px1−x2=x1+x22p.则AB:y−x122p=x1+x22p⋅(x−x1)⇒AB:2py=(x1+x2)x−x1x2，显然由于AB过焦点(0,p2)，代入可得x1x2=−p2.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.上述结论的逆向也成立，即：结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P(x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A点的切线方程为x1x=p(y1+y)，过B点的切线方程为x2x=p(y2+y)，两式相除可得：x1x2=y+y1y+y2⇒y=x2y1−x1y2x1−x2⇒y=x1x22p=−p2.这就证明了该结论.结论4.PF⊥AB.证明：由结论3，kAB=x0p，kPF=y0−p2x0.那么kAB⋅kPF=x0p⋅y0−p2x0=y0p−12=−1.结论5.AP⊥PB.证明：kAP=x1p,kBP=x2p,则kAP⋅kBP=x1p⋅x2p=x1⋅x2p2.由抛物线焦点弦的性质可知x1x2=−p2，代入上式即可得kAP⋅kBP=x1⋅x2p2=−1，故AP⊥PB.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点A,B的切线的交点P在抛物线准线上.且P的坐标为(x1+x22,x1x22p)，显然PM平行于抛物线的对称轴.2.典例（2021全国乙卷21）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F，且F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的最短距离为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB为C的切线，切点为A,B，求ΔPAB面积的最大值.解：（1）p=2,x2=4y（过程略）.（2）假设P(x0,y0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则切线PA：y−y1=x12(x−x1)，切线PB:y−y2=x22(x−x2)，最后将点P(x0,y0)分别代入上面方程中可得：{x0x1−2(y0+y1)=0¿¿¿¿①，这表明AB的方程为：x0x−2(y+y0)=0.那么联立AB与抛物线方程可得：{x0x−2(y+y0)=0¿¿¿¿，则x1+x2=2x0x1x2=4y0，那么|AB|=√1+kAB2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√(4+x02)(x02−4y0)，设P到直线AB的距离为d，则d=|x02−4y0|√x02+4.故SΔPAB=12⋅|AB|⋅d=(x02−4y0)322.由于点P在圆M上，故x02=−y02−8y0−15，代入上式得：SΔPAB=(−y02−12y0−15)322y0∈[−5,−3]，故当y0=−5时，(SΔPAB)max=20√5.（2019年全国三卷）已知曲...
