临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用08（导数与数列不等式的证明）1．已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围．（2）证明：，．2．已知函数．（1）若，求实数的值；（2）求证：．3．设函数．（1）若1a，求()fx的极值；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）若*nN，证明：2222123(1)234(1)nlnnn．4．已知函数．（1）当3a时，求()fx的单调区间；（2）①若2()1fxx„恒成立，求a的值；②求证：对任意正整数(2)nn…，都有22221111(1)(1)(1)(1)234en．（其中e为自然对数的底数）5．已知函数()fxlnx，2()gxx．（1）若不等式()1fxax„对(0,)x恒成立，求实数a的范围；（2）若正项数列{}na满足112a，12()(1)nnnngaaaa，数列{}na的前n项和为nS，求证：221nSne．6．已知函数．（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：．7．设．（1）当时，求证：；（2）证明：对一切正整数，都有．（3）证明：时，．8．已知函数．（1）当，时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，数列满足：，，求证：是递减数列．（参考数据：9．已知函数．（1）求函数在，上的最大值；（2）当时，求证：．参考答案1．（1），等价于，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故实数的取值范围是，．（2）由（1）可知在上恒成立，则，即，当且仅当时“”成立，取，2，3，，则，，，，，将上述不等式相乘可得，即，故．2．（1），则．①当时，，在上单调递增，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；②当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；③当时，，由得，；由得，，在上单调递增，在上单调递减，又（1），成立；④当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；综上得，．（2）由（1）知，当时，在上成立，即，令，则，，即，．3．（1）()fx的定义域是(0,)，当1a时，1(21)(1)()21xxfxxxx，令()0fx，解得：1x，令()0fx，解得：01x，()fx在(0,1)递减，在(1,)递增，()fxf极小值（1）0，无极大值．（2）(2)(1)()2(2)(0)axaxfxxaxxx，①当0a…时，若()0fx，则1x，若()0fx，则01x，()fx在(0,1)递减，在(1,)递增；②当012a即20a时，若()0fx...
