串讲05导数及其应用高二苏教版数学上册期末大串讲思维导图知识串讲常用技巧/结论典型例题思维导图知识串讲1.函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到.这时,x的变化量为,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值Δ𝑦Δ𝑥,即Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.f(x0+Δx)Δx知识串讲2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率Δ𝑦Δ𝑥无限趋近于一个确定的值,即Δ𝑦Δ𝑥有极限,则称y=f(x)在x=x0处,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0,即f'(x0)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.(2)几何意义:f'(x0)是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.可导3.函数f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥.知识串讲4.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0;(2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f'(x)=axa-1;(3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx;(4)若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx;(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)=axlna;特别地,若f(x)=ex,则f'(x)=ex;(6)若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f'(x)=1𝑥ln𝑎;特别地,若f(x)=lnx,则f'(x)=1𝑥.知识串讲5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;(3)ቂ𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)ቃ'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.y'u·u'xy对uu对x知识串讲7.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上;③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.(2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.单调递增单调递减知识串讲8.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点...
