学科网（北京）股份有限公司【学生版】1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。2、推广（1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）；（2）如果、、是实数,那么，当且仅当时，等号成立；一、定理的多视角证明1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。【提示】【证明】方法1：【证明】方法2：（比较法+不等式性质）【证明】方法3：（分析法）；微专题对三角不等式的理解与应用知识梳理典题例析学科网（北京）股份有限公司【证明】方法4：（利用绝对值的几何意义）；【证明】方法5：（从向量的模与复数的模视角理解）定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。不等式中，用向量分别替换实数、；则当不共线时,由向量加法三角形法则:向量，构成三角形,因此，有（、同向时取等号）定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值三角不等式定理。二、定理的理解与应用例1、（1）设a、b为实数，求证：|a+b|+|a−b|≥2|a|.【提示】【证明】（2）设a、b为实数，求证：|a+b|+|a−b|≥2|b|.【证明【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式；例2、已知f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.【提示】；【证明】abab学科网（北京）股份有限公司【说明】本题考查了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧；一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明；例3、设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.【提示】【证明】【说明】本题考查借助三角不等式证明含绝对值的不等式；1、将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.例4、对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围.【提示】【说明】方法1：学科网（北京）股份有限公司【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围；1、本题也可利...
