8.10圆锥曲线的综合问题例1．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A,B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C、D两点．若，求k的值．【答案】（1）椭圆的方程为；（2），直线设联立，整理得：，，又所以，解得.例2．已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；（2）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）如图，设.把代入得，由韦达定理得.∴，∴点的坐标为.设抛物线在点处得切线的方程为，将代入上式得， 直线与抛物线相切，∴，∴，即.（2）假设存在实数，使，则.又 是的中点，∴.由（1）知. 轴，∴.又.∴，解得，即存在，使.例3．已知椭圆过点，且．（1）求椭圆C的方程：（2）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．【答案】（1）椭圆方程为：.（2）设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即，则.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且，注意到，而：，故.从而.例4．已知椭圆C：(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（1）椭圆C的方程为．（2）设M，N由得，则，．故|MN|===．由因为点A（2,0）到直线的距离，所以△AMN的面积为．由，解得，经检验，所以．例5．如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为.联立消去，整理得：.因为直线与抛物线相切，所以，解得.所以，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.（2）由（1）知，，直线的方程为，所以点到直线的距离为.故的面积为.【课后作业】1．已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程.【答案】（1）椭圆的方程为（2）由题意可得以为直径的圆的方程为圆心到直线的距离为，由，即，可得，设，联立整理得，可得：，，，解方程得，且满足直线的方程为或.2．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线...
