9.8空间向量在立体几何中的应用一、学习目标1.能用空间向量处理线面位置关系；2.能用空间向量求解空间角问题．二、知识回顾1.直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的非零向量也是直线l的方向向量．（2）平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03.用向量求解空间角（1）异面直线所成角：设异面直线，的方向向量分别为，，则；（2）直线与平面所成角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则；（3）二面角：设平面，的法向量分别为，，则．三、典例分析例1.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：（1）PB∥平面EFG；（2）平面EFG∥平面PBC.【证明】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，故AB，AP，AD两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AP正方向为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．于是EF＝(0，1，0)，EG＝(1，2，－1)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为PB＝(2，0，－2)，所以PB·n＝0，所以n⊥PB，因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.(2)因为EF＝(0，1，0)，BC＝(0，2，0)，所以BC＝2EF，所以BC∥EF.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC.例2如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）证明：AP⊥BC；（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明：平面AMC⊥平面BMC.【证明】（1）如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－...
