人教A版2019高中数学必修第二册第6章平面向量及其应用6.3.2平面向量的正交分解、加减、数乘运算的坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解向量正交分解定义：不共线的两个向量垂直是一种特殊的情形，向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，会大大方便我们解决问题.1F�G�2F�ABCDoxyija如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij.xyxyaija对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.aa这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作aa2.平面向量的坐标表示注意细节3.点的坐标与向量的关系·····结论：向量发生平移，对应系数不变·············【解】由题目所给的图可得所以它们的坐标表示分别是：2.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=6，∠xOA=150°，向量的坐标为________。OA�OA�【解析】设点A（x，y），则x=||cos150°=6co150°=-3，y=||sin150°=6sin150°=3，即A（-3，3），所以=（-3，3）。答案：（-3，3）OA�3OA�3OA�33这就是说，向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差。已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)ja+b=(x1+x2,y1+y2)即同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)4.平面向量的加、减法坐标表示xyOA(x1,y1)y1B(x2,y2)y2x2x1如图,给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyxyxxyy�这就是说，一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标。4.平面向量的加、减法坐标表示设λR∈，a=(x1,y1)则：λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j这就是说，实数与向量的积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。λa=(λx1,λy1)即5、平面向量数乘运算坐标表示5,8AAD6、平面向量共线的坐标表示特殊情况拓展6、平面向量共线的坐标表示归纳与总结CDB方法二：由题意得A(3,4)，B(7,12)，C(9,16)，4.已知O为坐标原点，OA=(3,4)，OB=(7,12)，OC=(9,16)，求证：A、B、C三点共线.【证明】方法一：∵AB=OB-OA=(4,8)，AC=OC-OA=(6,12)，所以AC与BC共线，因为AB,AC有公共点,所以ABC三点共线【解】由|AC|=2|BC|,且点C在直线AB上，得AC=±2BCTHANKS“”
