5.2平面向量基本定理与坐标一、学习目标1.理解平面向量基本定理；2.掌握向量的坐标运算.二、知识回顾1.平面向量基本定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使，其中、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算：（1）平面向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，，则；；（2）向量坐标的求法设，，则，3.平面向量共线的坐标表示：设，，则.三、典例分析例1.（1）已知平行四边形中，点，满足，，则____________（用，表示）.（2）在中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，又，则实数的值为_________.【答案】（1）；（2）.例2.已知，，.设，，，且，.（1）求；（2）求满足的实数，；（3）求，的坐标及向量的坐标.【答案】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c，所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b，所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN＝(9，－18)．例3.（1）已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是（）A．－B．C．D．（2）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．【答案】（1）A；（2）(4，7)．例4.（1）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则的值为___________.（2）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心，以1半径的圆弧上变动.若，其中，则的最大值是________.【答案】（1）6；（2）2.解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，，设∠AOC＝α，，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得解得x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以α＋∈，所以sin∈，故x＋y的最大值为2.【课外作业】1．若向量=（1,2），=（3,4），则=（）A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)【答案】A2．若向量，则（）A．B．C．D．【答案】B3．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A．B．C．D．【答案】B4．已知向量（1，2），（1，0），（3，4）．若λ为实数，，...
