1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6.2.4向量的数量积【学习目标】素养目标学科素养1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点）3.理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理。【自主学习】一．两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a与b；②当θ＝时，向量a与b，记作a⊥b；③当θ＝π时，向量a与b．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA与AB的夹角．作AD＝CA，则∠BAD才是向量CA与AB的夹角．二．向量的数量积已知两个向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的(或)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为.注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．三．投影向量若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe.当θ＝0时，投影向量为；当θ＝时，投影向量为；当θ＝π时，投影向量为.四．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝.(2)a⊥b⇔．(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．特别地，a·a＝或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)cosθ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角．数量积的性质的应用:2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．五．向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则(1)交换律:；(2)数乘结合律：；(3)分配律：.注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，...
