2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.3导数的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值观察图５-３-２中函数y＝f（x）的图像，其中有一些特殊的点，在这些特殊点的左右两侧附近，函数的单调性发生了改变．例如，函数在点（x１，f（x１））的左侧附近严格“”增，右侧附近严格减，此处出现了一个山峰；又如，函数在点（x２，f（x２））的左侧附近严格减，右侧附近严“”格增，此处出现了一个山谷换句话说，在x=x１附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于f（x１），此时，就说函数y＝f（x）在x＝x１处取得极大值f（x１），而点x１称为函数y＝f（x）的极大值点．类似地，在x＝x２附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于f（x２），此时，就说函数y＝f（x）在x＝x２处取得极小值f（x２），而点x２称为函数y＝f（x）的极小值点因此，图５-３-２所示的函数有三个极大值点x１、x３、x５，还有三个极小值点x２、x４、x６．极大值和极小值统称为极值，而极大值点和极小值点则统称为极值点在导数都存在的前提下，极值点一定是相应函数单调增区间及单调减区间的分界点，从而是函数的驻点，函数曲线在该点的切线是水平的．但反过来，我们却不能说一个函数的驻点一定是其极值点．例如，在函数3yxx＝中，点＝０虽是其驻点，但不是极值点，因为这个函数在整个区间（－，＋）上是严格增的．因此，要找到函数y＝f（x）的极值点，通过f′（x０）＝０找到驻点x＝x０只是第一步，还要根据驻点附近f′（x）的符号才能断定x０是否为f（x）的极值点．具体地说，我们有如下定理：26.1fxxxyfx例已知（）＝-＋６，求函数（）的单调区间和极值解对函数求导，得f′（x）＝－２x＋６．令f′（x）＝０，解得x＝３，从而x＝３为函数y＝f（x）的唯一驻点．把该驻点与其两侧的区间列表如下：因此，y＝f（x）在区间（－∞，３）内严格增，在区间（３，＋∞）内严格减，在x＝３处取得极大值f（３）＝８．例7.求正弦函数y＝ｓｉｎx的单调区间和极值．解这是一个周期为２π的周期函数．记f（x）＝ｓｉｎx，()()=2fxxfxxkkZπ求导可得＝ｃｏｓ．令０，解得２，．将不同驻点及其所划分出的区间在一个周期上的情况列表如下：因此，对任意给定的k∈Z，正弦函数y＝ｓｉｎx在区间218.3fxxxyfx例已知（）＝－＋２，求函数＝（）的单调区间和极值212()-()fxxfxxx解对函数求导，...
