2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.3导数的应用（第1课时）利用导数研究函数的单调性研究函数时，单调性与极大（小）、最大（小）值是重要的主题，但限于初等数学所能提供的工具，在很多常见函数面前，我们还是常常束手无策．而导数则为我们研究函数的这些性质提供了通用和便捷的手段．本章引入的定理大多需要更高深的高等数学知识才能证明．但同学们可以借助熟悉的函数（如二次函数）验证这些结论的合理性．函数的单调性问题研究的是在一个区间内函数严格递增还是严格增减的问题，即函数值是随着自变量值的增加而增加，还是随着自变量值的增加而减少的问题．导数是函数的瞬时变化率，反映了自变量发生变化的瞬间，函数值随之发生的增减变化，因此，导数是研究函数单调性的最佳工具．特别地，从导数的正负就可以直接判断函数的单调性：在导数值都存在的情况下，导数值由正变负或由负变正过程中会出现导数等于零的点，即函数的驻点．因此，要把函数的严格递增区间和严格递减区间划分出来，找到函数的驻点是先决步骤．找到驻点后，再看驻点两侧导数值的正负是否发生变化，如果发生变化了，此驻点就成为严格递增与严格递减区间的分界点．21.fx例确定函数（）＝x-4x＋２的单调区间解先求函数的驻点解得x＝２．此函数只有一个驻点．当x＞２时，f′（x）＞０，函数f（x）严格递增；当x＜２时，f′（x）＜０，函数f（x）严格递减．因此，函数f（x）的严格递增区间为（２，＋∞），严格递减区间为（－∞，２）322.fx例确定函数（）＝x+x-x-1的单调区间2()=3x()fxfx解对函数求导，得+2x-1，令＝０，解得1213xx＝－１，＝．此函数有两个驻点．1()()3xxfxfx当＜－１或＞时，＞０，函数严格递增；1()3xfx当－１＜＜时，＜０，函数严格递减．1()-,)313fx因此，函数的严格递增区间为（1），(,+，严格递减区间为(-１,)．注意，有时候驻点并不是严格递增与严格递减区间的分界点．3()3.fx例确定函数＝x的单调区间．2()()=0x=fxfx解对函数求导，得=3x，从推出０所以此函数在x＝０时有唯一的驻点。但是，由于f′（x）≥０永远成立即驻点两侧导数值的正负没有变化，因此驻点不是单调区间的分界点．此函数的严格递增区间为（－∞，＋∞）我们也要注意函数没有定义的点，这样的点也可能成为严格递增区间与严格递减区间的分界点．24.fxx例确定函数（）＝的单调区间．300()xxfx解函数在处没有定义...
