5.3等差数列及其前项和（2）一、学习目标1.进一步体会等差数列中，与一次函数，与二次函数的关系；2.掌握等差数列前项和的最值问题的处理方法；二、知识要点1.等差数列中，，时，是关于的一次函数，其图象是相应直线上的孤立的点；2.等差数列中，，时，的图象是相应抛物线上的孤立点：①，时，图象开口向下，有最大值；②，时，图象开口向上，有最小值.二、典例分析例1.在公差不为0的等差数列中，已知，，则的前项和何时最大？【答案】或法1：，令，解得，故或时，最大；法2：，由图象知当或时，最大.例2.（1）若等差数列满足，，则当_____时，的前项和最大.（2）在等差数列中前项和为，且，，则当_____时，取得最大值.【答案】（1）；（2）.例3.（1）设等差数列中的前项和为，且满足，，，则使成立的最大的自然数为_______.（2）设等差数列中的前项和为，若，则满足的正整数的值为______.【答案】（1）；（2）.例4.设等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为_______.【答案】解析：设，则，解得，，从而，，对函数求导分析，当时，有最小值.例5.已知等差数列的前项和为且满足，.（1）求的取值范围；（2）求所有满足不等式的的集合.【答案】（1）；（2）.四、课外作业1．设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A．当且仅当时取最小值B．当且仅当时取最大值C．当且仅当时取最小值D．当且仅当时取最大值【答案】A2．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．与均为的最大值【答案】C3.设nS是公差为(0)dd的无穷等差数列{}na的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若0d，则数列{}nS有最大项B．若数列{}nS有最大项，则0dC．若对任意*nN，均有0nS，则数列{}nS是递增数列D．若数列{}nS是递增数列，则对任意*nN，均有0nS【答案】D4．已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（）A．17B．16C．15D．14【答案】C5．等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（）A．最小项为B．最大项为C．最小项为D．最大项为【答案】C6．等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为_______．【答案】7．等差数列的前项和为，若，，则当_____时，取到最大值.【答案】8．设等差数列的前项和为，若，则满足的的最大值为______．【答案】9．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为__________．【答案】10．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为_...
