5.2.2同角三角函数的基本关系学习目标素养目标学科素养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2.理解同角三角函数的基本关系式．3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.逻辑推理2.数学运算同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于.自主学习2.商数关系(1)公式：sinαcosα＝(α≠kπ＋π2，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于．1tanα角α的正切1自主学习注意：(1)“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意角α，sin2α3＋cos2α3＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立.()(3)若cosα＝0，则sinα＝1.()(4)若sinα＝35，则cosα＝1－sin2α＝45.()(5)因为sin294π＋cos2π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.()×√×小试牛刀××2.化简1－sin23π5的结果是()A．cos3π5B．sin3π5C．－cos3π5D．－sin3π5小试牛刀C解析：因为3π5是第二象限角，所以cos3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝cos3π5＝－cos3π5.题型一利用同角三角函数的基本关系式求值角度1：已知一个三角函数值求其余两个值利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系sinαcosα＝tanα，可以实现在sinα，cosα，tanα三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个。注意：若题目中没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论．经典例题题型一利用同角三角函数的基本关系式求值例1(1)已知sinα＝－15，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；经典例题解：(1) sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－－152＝2425.又 α是第三象限角，∴cosα<0，即cosα＝－265，∴tanα＝sinαcosα＝－15×－526＝6...
