第一期（2002年10月）韶关学院学生数学建模论文集No.1商品最优价格的数学模型赖金花,欧杰泉,柯文峰(1)韶关学院2000级计算机系计算机科学与技术本1班(2)韶关学院2000级数学系数学与计算机进行教育6班(3)韶关学院2000级数学系数学与应用数学本科1班摘要:最优价格问题是一个最优化问题.我们以年总利润为目标函数建立一个模型,为使总利润最大,利用微分法求出上半年和下半年的最优价格分别为:元,元.在已知年总销售量的情况下,相当于目标函数多了一个约束条件,同理可以得出上半年和下半年的最优价格,分别为:元,元.关键词:最优价格;总利润.1问题的提出对任一商品,其利润总与销售量和价格有关.而销售量又是受价格影响的.如果价格太高,销售量就会下降;如果要促进销售量,则必须下调价格.这两种情况都将影响到商品的获利.所以如果要使商品获利最大,那么就应该给商品确定一个最优价格.现有一液化石油公司,生产家用煤气.每罐煤气在初始销售时的成本是43元,由于产品损耗等原因,生产每缺罐煤气的成本总是随时间增长,其增长率k为1.5公司为了确定一个合适的价格,特意作了一个调查,其调查结果如下表:价格(元/罐)444547485053销售量(罐/月)12401211114811201066970现将一年的销售量分为上半年和下半年两个时期进行,其价格分别为,每半年的价格固定.我们要解决的问题是:(1)试建立一个数学模型,确定上下半年的价格,,使一年内的总利润最大.(2)如果要求一年内的总售量为7100罐,再求出,的最优值.2问题的分析首先我们从所给的数据中得出销售量跟价格的函数关系,再从题意中列出成本跟时间,价格跟时间的关系式子.根据利润=销售量价格—总成本,并考虑到利润是关于时间的连续函数,所以用积分法列出年总利润的目标函数,用微分法便可求解,了.3问题的假设(1)假设商品在产销平衡的状态下销售.(2)假设成本随时间变化时的增长率k是固定不变的.(3)假设时间是以月为单位的.99No.1韶关学院学生数学建模论文集第一期（2002年10月）(4)假设销售量与价格是线性递减函数.4符号的约定-----初始销售时的成本;(=43元)k------成本随时间增长时的增长率;(k=1.5)---时刻的成本;x-------月销售量;a-------绝对销售量;b-------销售量对价格的敏感系数;-----上半年的产品价格;-----下半年的产品价格;p(t)-----第t个月的产品价格;f(t)------第t个月的利润;U-------一年的总利润;-----一年的总销售量;5模型的建立与求解5.1每件产品的成本跟时间的函数关系:;(1)作出销售量跟价格的函数图形如下:200150100050...
