2023学年福建省海滨学校、港尾中学高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A．400米 B．480米 C．520米 D．600米 4．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知，则（ ） A． B． C． D．2 6．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．在中，，则 （ ） A． B． C． D． 10．设集合，集合 ，则 =（ ） A． B． C． D．R 11．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A． B． C． D． 12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A． B．4 C． D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知全集，集合，则______. 14．已知(2x-1)7=ao+a1x+ a2x2+…+a7x7，则a2=____. 15．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________. 16．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是___． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且； （2）若当时，不等式恒成立，求证：. 18．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点. （1）证明:点在轴的右侧; （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率 19．（12分）已知函数. （1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：. 20．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵. 21．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 22．（10分）已知函数. （1）若，解关于的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率. 【题目详解】 解：不妨设过点作的垂线，其方程为， 由解得，，即， 由，所以有， 化简得，所以离心率． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 2、D 【答案解析】 推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 【题目详解】 解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知， ，设中点为，则平面，∴， ∴，解得. 故选：D 【答案点睛】 本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题. 3、B 【答案解析】 根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【题目详解】 设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示： 由题意可得，解得； 且满足， 故解得塔高米，即塔高约为480米. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 4、B 【答案解析】 求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【题目详解】 由题意,对应点坐标为 ，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题． 5、B 【答案解析】 结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【题目详解】 由，以及，解得. . 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 6、D 【答案解析】 将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 【题目详解】 由图知与有个公共点即可， 即，当设切点， 则， . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 7、B 【答案解析】 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值. 【题目详解】 设棱长为1，，， 由题意得：，， ， 又 即异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 8、A 【答案解析】 将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【题目详解】 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同， ∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为， 设球的半径为， 则，解得， 所以， 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 9、A 【答案解析】 先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值． 【题目详解】 因为所以为的重心， 所以, 所以, 所以，因为， 所以，故选A． 【答案点睛】 对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心． 10、D 【答案解析】 试题分析：由题，，，选D 考点：集合的运算 11、D 【答案解析】 三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【题目详解】 由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有 种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二 种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度. 12、B 【答案解析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【题目详解】 如图，三棱锥的直观图为，体积 . 故选:B. 【答案点睛】 本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意可得出，然后进行补集的运算即可． 【题目详解】 根据题意知，， ，， ． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题． 14、 【答案解析】 根据二项展开式的通项公式即可得结果. 【题目详解】 解：(2x-1)7的展开式通式为： 当时，， 则. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题. 15、 【答案解析】 当时，转化条件得有唯一实数根，令，通过求导得到的单调性后数形结合即可得解. 【题目详解】 当时，，故不是函数的零点； 当时，即， 令，， ， 当时，；当时，， 的单调减区间为，增区间为， 又 ，可作出的草图，如图： 则要使有唯一实数根，则. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题. 16、 【答案解析】 先求出基本事件总数6×6＝36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率． 【题目详解】 基本事件总数6×6＝36，点数之和是6包括共5种情况，则所求概率是． 故答案为 【答案点睛】 本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）详见解析；（2）详见解析. 【答案解析】 （1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论； （2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立， 设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可. 【题目详解】 （1）， 令，则， 所以在区间上是增函数， 则，所以在区间上是增函数. 又因为， ， 所以在区间上有且仅有一个零点，且. （2）由题意，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，； 当时，恒成立， 设（）， 所以. 由（1）可知，，使， 所以，当时，，当时，， 由此在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又因为， 所以，从而， 所以.令，， 则， 所以在区间上是增函数， 所以，故. 【答案点睛】 本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 18、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）设出直线的方程，与椭圆方