第三章 第二节矩阵的秩.pdfVIP免费

第二节矩阵的秩一、基本概念定义1设为阶矩阵，从矩阵中任取行和列而成的阶行列式称矩阵的子式。定义2设矩阵中至少有一个阶子式不等于零，一切阶子式（不一定存在）全为零，称矩阵的秩为，记为。nmAAkkrArAr1rArrAr)(【注解】（1）设为阶矩阵，则即。（2）设，则，其中若，则；若，则。Tnaaa),,,(21AnmnArmAr)(,)(},min{)(nmAr1)(rO0)(rO1)(r（3）设为阶矩阵，若，则，称为满足秩矩阵或非奇异矩阵。An0||AnAr)(A二、矩阵秩的求法将矩阵进行初等变换进行阶梯化，阶梯化后的矩阵所包含的非零行的个数即为矩阵的秩。【例3】求矩阵的秩。723101311AAA【例4】设矩阵，且，求。,2)(Ar3651231121A【注解】（1）的充分必要条件是。（2）的充分必要条件是。（3）的充分必要条件是矩阵至少两行不成比例。OA0)(Ar1)(ArOA2)(ArA三、矩阵秩的性质性质1。【例1】设为矩阵，且，证明：。性质2设为矩阵，则nm)()()()(TTTAArAArArAr)()()(BrArBArOAATAOAnm【例2】设为维列向量矩阵，且，证明：。2)(Ar,nTTA性质3设为矩阵，为矩阵，则即。【例3】设，，求。EABA)(,mnBAmnnm)()(),()(BrABrArABrB)}(),(min{)(BrArABrnmsnsn)(),(BrAr性质4设为可逆矩阵，则。性质5设为矩阵，为矩阵，若，则。AQP,)()()()(PAQrAQrPArArnmBsnOABnBrAr)()(【例4】设为阶矩阵，且，证明：。AnAErAEr)()2(nOEAA232【例5】设为阶可逆矩阵，证明：的逆矩阵唯一。AnA性质6。)()()(BrArBAr