第四章 第三节 向量组的秩.pdfVIP免费

第三节向量组的秩一、基本概念1、向量组等价—设为两个向量组，若（1）nmBA,,,:;,,,:2121nmnmmmnnnnkkkkkkkkk22112222121212121111,,称向量组可由向量组线性表示；若（2）称向量组可由向量组线性表示。若（1）（2）都成立，称两个向量组等价。ABmnmnnnmmmmlllllllll22112222121212121111,,BA2、向量组的极大线性无关组—设为向量组，若（1）存在个向量线性无关；（2）任意个向量（如果有）一定线性相关，称个线性无关的向量为向量组的极大线性无关组，称为向量组的秩。3、矩阵的行秩与列秩—设为矩阵，令nA,,,:21r1rrArAnm称为矩阵的行向量组，其秩称为矩阵的行秩；称为矩阵的列向量组，其秩称为矩阵的列秩。),,,(2121nmAm,,,21An,,,21A【注解】（1）极大线性无关组不一定唯一。（2）向量组线性无关的充分必要条件是的秩等于；线性相关的充分必要条件是的秩小于。（3）设,则情形一：向量组与向量组的秩相等的充分必要条件是向量可由向量组线性表示。n,,,21nbAAmm,,,,:;,,,:2121nn,,,21n,,,21n,,,21AAbn,,,21情形二：向量组的秩与向量组的秩不等的充分必要条件是向量不可由向量组线性表示。（4）设为矩阵，为矩阵，且，则。AsnAAn,,,21Bbnm),,(1sB),,,(),,(211ssAAAAAB二、性质性质1矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩相等。性质2设；，若向量组可由向量组线性表示，则组的秩不超过组的秩。性质3等价的向量组秩相等，反之不对。mA,,,:21AnB,,,:21BAB