第三章 第一节矩阵的初等变换.pdfVIP免费

第三章矩阵的初等变换与线性方程组主讲汤家凤第一节矩阵的初等变换定义1线性方程组的三种同解变形以下三种变形称为方程组的同解变形：1、对调两个方程；2、某个方程乘以非零常数；3、某方程的倍加到另一个方程。ck定义2矩阵的初等行变换1、对调矩阵的两行；2、矩阵某行乘以非零常数；3、矩阵某行的倍加到另一行。以上三种变换称为矩阵的初等行变换。【注解】以上三种变换若由行变成列，称为矩阵的初等列变换。ck定义3矩阵等价—设为同型矩阵，若矩阵经过有限次初等变换化为，称矩阵与等价，记为。【注解】矩阵等价具有如下性质：（1）；（2）若，则；（3）若，则。BA,ABABBA~AA~BA~AB~CBBA~,~CA~定义4三个初等矩阵（1），1101111011),(jiE【注解】初等矩阵的性质：1）即将矩阵的对调；2）即将矩阵的对调；3）；4）。AjiE),(Aji,),(jiAEAji,1|),(|jiE),(),(1jiEjiE),(jiE（2），其中。1111))((kkiE0k【注解】初等矩阵的性质：1）即将矩阵的第行乘以；2）即将矩阵的第列乘以；3）；4）。))((kiEAkiE))((Aik))((kiAEAik0|))((|kkiE))1(())((1kiEkiE（3），即的行的倍加到行，或的列的倍加到列。1111))((kkijEEjkiEikj【注解】初等矩阵的性质：1）即将矩阵的第行倍加到行；2）即将矩阵的第列倍加到列；3）；4）。))((kijEAkijE))((Ajk))((kijAEAik1|))((|kijE))(())((1kiEkijEij问题1设为阶可逆矩阵，则是否可以经过有限次初等行变换化为？AnAE问题2设为阶不可逆矩阵，则是否可以经过有限次初等行变换化为？AnAOOOEr问题3设为阶不可逆矩阵，则是否可以经过有限次初等行变换化为？AnOOOEr性质1设为矩阵，则（1）矩阵左乘、、相当于对矩阵进行相应的三种初等行变换。（2）矩阵右乘、、相当于对矩阵进行相应的三种初等列变换。性质2设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是可经过有限次初等行变换化为。AnmA),(jiE))((kiE))((kijEAA),(jiE))((kiE))((kijEAAnAAE即。【例1】设，求。)(~)(1AEEA行032203120A1A【例2】求解矩阵方程，其中。520211,231221312BA